函数作业
澳大利亚程序代写 使用一些数值方法来实现和积分函数。 您将编写一个程序“numerics”，它从标准输入中读取命令。 首先，有两个命令：define和test…
使用一些数值方法来实现和积分函数。
步骤1：解析函数 澳大利亚程序代写
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您将编写一个程序“numerics”，它从标准输入中读取命令。
首先，有两个命令：define和test
看起来像这样：
define（f x y z）=（+（*x y）（-z 3））
test (f 3 4.2 5）14.6
test（f-19.2 6）-6.2
对于此输入，程序应输出：
Defined f（x y z）
f（34.25）=14.6[correct]
f（-19.26）=-6.2[correct]
具体来说，define后面必须跟（id id…）
标识符（id）是一系列字母（大写和/或小写，区分大小写）和数字，必须以字母开头。
第一个id是所定义函数的名称。任何剩余的id都是该函数的参数名。
在上面的第一行中，我们定义了一个名为“f”的函数，它包含3个参数：“x”、“y”和“z”。所有函数都必须至少接受一个参数，但数字没有上限（因此可以生成一个接受100、1000或10000个参数的函数）。
下一个必须是=符号，后跟表达式。表达式是下列表达式之一：
-函数调用：（fname expr…）
fname可以是id（指定用户定义的函数），也可以是+，-，*，%，/，^指定内置的数学运算。注意，与C不同，^是power。使用数学库中的内置pow函数。
-参数名：id
-数字常量：strtod接受为有效双精度数的字符序列
例如，（f 3 4 5.2）是表达式，因为3、4和5.2是表达式，所以（f3 4 5.2）是（id expr expr expr expr）。
所有函数名（括号中的第一个标识符）必须引用以前定义的函数，而所有其他标识符必须引用此函数的参数或是数字常量。
试图重新定义已定义的函数时出错。
注意，任意数量的空格可能出现在任何标记（id、fname、parens、数值常量）之间（但不在其内部），而不会改变其含义。
例如 澳大利亚程序代写
(f 3 4 5)
和
( f 3 4 5 )
含义一样。但是 (fx yz)和(f x y z)两者有两种含义（前者用一个参数“y z”调用函数“f x”，后者用三个参数“x”、“y”和“z”调用函数“f”）。
test有两个参数。第一个必须是不带变量的表达式——它们可以引用函数，并具有参数的数值常量。但是，它们可以调用其他函数。下列都是有效的（假设F、G1、G2和H的适当定义存在）：
test（f 3 4.2 5）14.6
test（f（g1 1 2）（g2 3 4）（h 5 6-7））99.87
第二个参数是要计算到的表达式的预期值。test命令应计算其第一个参数，并与第二个参数进行比较。
-第二个参数是数字常量或者任意表达式，例如test（f 1 23）（g 4 5）
当程序执行测试语句时，其行为取决于求值是否与预期结果匹配。如果有，它会输出：
f（3 4.2 5）=14.6[correct]（即，表达式=值[correct]）
如果没有，输出
（g 1 2）=55.6[incorrect：expected-99.8] （即，表达式=实际值[incorrect：expected]
注意：不应将浮点数与==进行比较。如果这样做，例如sqrt（2）*sqrt（2）==2，将得到“false”（由于舍入的工作方式，最终得到sqrt（2）*sqrt（2）是2.00000000000000044）。相反，如果abs（期望值-实际值）<0.0000000000001，将认为测试通过
内置的数学运算（+，-，*，/，%）的含义与C中的相同（和^与pow相同）。
还应该提供以下内置函数（这些名称应该是预定义的）： 澳大利亚程序代写
floor
ceil
round
logb
select
其中，floor、ceil和round使用一个参数，并且其行为与数学库中的行为完全相同（使用数学库）。
logb函数接受两个参数，并计算第二个参数指定的基数中第一个参数的对数。那就是
(logb 16 2) 会计算为4，因为16的对数（基2）是4，，，，，log（lhs）/log（rhs）
select函数接受三个参数test、t和f。如果test>=0，则select计算其第二个参数（t），否则计算其第三个参数（f）。
例如，可以将绝对值函数定义为
define（abs x）=（select x x（-0 x））
#符号表示行末的注释。例如
#define xy+z-3 function
define（f x y z）=（+（*x y）（-z 3））
test（f 3 4.2 5）14.6 #other comments
test（f-19.2 6）-6.2
如果输入无效或测试失败，程序应打印错误消息并继续执行下一行输入。
第二步：数值积分 澳大利亚程序代写
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下一步是使用梯形方法添加对数值积分的支持。回想一下微积分，一个函数的定积分是它在一定范围内曲线下的面积。近似这个积分的一种方法是计算许多梯形的面积（每个高度是梯形的左右两边的函数的值），并对它们的面积求和。用足够小的梯形，实际面积的近似是相当好的。对于每个梯形，面积为
（f（x）+f（x+width））/2*width
这一原理推广到多维，其中积分在2个参数的函数下计算体积，其中一个特定“切片”的体积为：
（f（x，y）+f（x+width，y）+f（x，y+width）+f（x+width，y+width））/4*width*width
另一种方法是矩形棱镜，其高度是切片四个角的平均值。同样的想法也适用于任何维数。
要添加此功能，您将添加对新命令“numint”（数字积分的缩写）的支持。
numint命令采用的参数数量取决于它正在积分的函数所需的参数数量。
1.第一个参数将始终是已定义函数的名称
2.第二个参数是“步长”（即每个矩形的宽度）。
3.其余的参数成对出现，指定每个参数的积分范围。每个参数必须有一个范围（一对数字）。
例如：
define（f x y）=（+（*2 x）y）
numint f 0.001-1 1 4 5
这将计算f（x，y）=2*x+y曲线下的体积，x从-1到1，y从4到5。它将通过求出2000000个矩形棱柱体的体积（每个棱柱体的长度为0.001，宽度为0.001）和基于该特定矩形左/右处f的平均值的高度的总和来计算。
步骤3：蒙特卡罗积分
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第三步是添加对“mcint”（Monte Carlo Integration）命令的支持。这个命令近似于曲线下的面积（或体积等），但不是用许多矩形的体积求和，而是使用蒙特卡洛方法。
特别是，它在积分范围内选取许多随机点。然后，它使用这些来估计该区间内曲线的平均值。也就是说，如果函数是y=f（x），然后计算：
f(x1) + f(x2) + …f(xN)
y_avg = ————————
N
area = y_avg * (xmax – min)
对于三维曲线 (z = f(x,y)) :
f(x1,y1) + f(x2,y2) + … f(xN,yN)
z_avg = ———————————-
N
volume = z_avg * (xmax – xmin) * (ymax – ymin)
对于高维曲线，同样的想法也适用。
“mcint”的参数与“numint”相同，只是第二个参数是试验次数（要选择的随机点数）而不是步长。第一个参数仍然是函数名，其余的参数仍然是要积分的范围。
第四步：梯度上升 澳大利亚程序代写
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最终任务是添加命令来查找最大值（“max”命令）或最小值（“min”命令），通过梯度上升或下降。
带多个输入的数学函数的梯度是导数在多维中的推广。我们将在这里考虑二维情况（尽管这一概念推广到任何数量的维度）。对于具有两个输入x和y的函数（f），梯度（Df）是其输出为二维向量的函数。也就是说，Df（x，y）是指向f在点（x，y）处具有最大增长率的方向的向量，其大小是图在该方向上的斜率。函数的梯度可以通过取函数对每个分量的偏导数来计算。也就是说，向量的x分量是d f（x，y），y分量是df（x，y）。
以同样的方式，我们可以数值近似在一个特定的点的任意函数的导数，我们可以数值近似在特定点的任意函数的梯度。梯度可以用于数值求函数的局部最大值或最小值。我们可以通过使用梯度上升（找到最大值）或梯度下降（找到最小值）来实现这一点。梯度上升的工作原理是从一个特定的点开始，然后沿着当前点上的梯度向量进行迭代改进。
也就是说，如果我们目前在pcurr，我们选择下一个点pnew=pcurr+gamma*Df（pcurr），其中gamma是我们按比例缩放渐变的某个因子。在最简单的梯度上升形式中，gamma是常数，尽管使用gamma的自适应值可以提高算法的收敛速度。注意，梯度下降的工作方式几乎相同，但与梯度相反，在上面的方程中，用a-代替+表示。这个过程在它收敛时结束，也就是说，当pnew完全接近pcurr时，我们的答案是足够好的（当我们接近局部最大值时，它们将更接近于“函数”，其中梯度将是（0, 0））。
这里，f是想要最大化的二维函数，startPoint有（x，y）坐标，从它开始上升，gamma是在更新当前点时缩放梯度的常数，收敛距离convergedDistance是pcurr和pnew之间的距离，在这里我们认为算法收敛了。它们之间的距离小于收敛距离，我们认为pnew是“足够接近”，为正确答案。
命令应采用以下参数：
1.函数的名称
2.gamma
3.收敛距离convergedDistance
4.起始点startPoint，它的数字和函数的参数一样多。
5.在放弃和决定上升/下降不收敛之前要采取的最大步骤数。
例如，如果定义了f
define（f x y）=（+（^x 2）（^y 2）（+（*4 x）1）
然后
min 0.1 0.0001 3 1000
应该输出
（2，0）或（2.0，0.0）
